Cum să rezolvi problemele cu rădăcini pătrate

Autor: Roger Morrison

Data Creației: 2 Septembrie 2021

Data Actualizării: 10 Mai 2024

Video: Algoritmul de extragere a radacinii patrate (7b11)

Conţinut

etape
Partea 1 Înțelegerea pătratelor și a rădăcinilor pătrate
Partea a 2-a Rezolva folosind algoritmi de tip divizare
Partea 3 Estimează aproximativ rădăcina unui pătrat imperfect

În acest articol: Înțelegerea pătratelor și a rădăcinilor pătrate Rezolvarea folosind algoritmi de tip diviziune Estimarea aproximativă a rădăcinii unui pătrat imperfect Rezumatul articolului Referințe

La vederea simbolului rădăcinii pătrate, unii oameni sunt înspăimântați, totuși problemele de rădăcină pătrată nu sunt atât de dificile pe cât pare. Unele rădăcini pătrate se rezolvă la fel de ușor ca înmulțirea sau divizarea. Pe de altă parte, există probleme care implică rădăcini care sunt adevărate puzzle-uri la început, dar dacă știi să faci asta, din nou nu este complicat. În articolul următor, vă oferim cheile pentru a extrage orice rădăcină pătrată.

etape

Partea 1 Înțelegerea pătratelor și a rădăcinilor pătrate

A ridica un număr pătrat înseamnă a-l înmulți singur. Pentru a înțelege rădăcinile pătrate, este imperios necesar să știm ce este un pătrat. Noțiunea de „pătrat” este simplu de înțeles - luați un număr și înmulțiți-l singur, și veți avea un pătrat. Astfel, 3 pătrat este același ca de 3 ori 3 (= 9) și 9 pătrat este echivalent cu 9 × 9 = 81. Un pătrat este indicat de un mic „2” situat în dreapta sus a numărului în cauză - scriem, de exemplu, 3, 9, 100 etc.
- Practicați pătratul până înțelegeți conceptul. Am spus deja că ridicarea unui număr pătrat înseamnă că îl înmulțim pur și simplu. Numerele negative pot fi de asemenea pătrate. Pe de altă parte, rezultatul va fi întotdeauna pozitiv (- x - = +). De exemplu, - 8 = - 8 × - 8 = 64.
Extragerea unei rădăcini pătrate constă, pe de altă parte, în găsirea numărului care a fost pătrat. Rădăcina pătrată este reprezentată de un semn operativ (√, numit „rădăcină”), este într-un fel contrapartida micului „2” al pătratului (x). Când vedeți acest simbol al rădăcinii, va trebui să vă puneți întrebarea: „care este acest număr care, ridicat pătrat, îmi poate da numărul marcat sub rădăcină (radicande)? Astfel, pentru a extrage √ (9), trebuie să găsiți numărul care, înmulțit singur, dă 9. Răspunsul este apoi „trei”, deoarece 3 = 9.
- Un alt exemplu este căutarea rădăcinii pătrate a 25 (√ (25)). Găsiți numărul care, înmulțit de la sine, dă 25. Ca 5 = 5 × 5 = 25, putem spune că √ (25) = 5.
- S-a spus anterior că rădăcina și pătratul s-au opus. Dacă cele două sunt combinate, se anulează reciproc. Să luăm un exemplu: √ (64) sau rădăcină pătrată de 64. Știm că 64 = 8. Înlocuim 64 sub rădăcină cu 8: √ (64) = √ (8). Ca strângere rădăcină și pătrată: √ (8) = 8.
Faceți diferența între pătrate perfecte și imperfecte. Până acum, ai întâlnit pătrate perfecte, care corespund numărurilor întregi. Nu este întotdeauna cazul, însă, cel mai adesea, rădăcina pătrată a unui număr este o cifră zecimală cu multe zecimale. Numerele care au rădăcini pătrate complete (nici fracții, nici zecimale) se numesc „pătrate perfecte”. Exemplele văzute (9, 25 și 64) au fost pătrate perfecte prin faptul că, luându-și rădăcinile, am căzut din nou pe numere întregi (respectiv 3, 5 și 8).
- Aceste numere a căror rădăcină pătrată nu este un număr întreg sunt numite pătrate imperfecte. Rădăcina acestui tip de pătrate dă fie un număr zecimal, fie o fracție. Uneori, calculatorul returnează un număr zecimal impresionant. Așa se face √ (13) = 3,605551275464…
Țineți primele 10 - 12 pătrate perfecte. După cum probabil veți observa, extragerea rădăcinii pătrate a unui pătrat perfect este ușoară. În acest caz, poate fi util să vă amintiți primele 10 sau 12 pătrate perfecte. Îi întâlnim suficient de des, vă va permite învățându-i din inimă să meargă mai repede. Primele 12 pătrate perfecte sunt:
- 1 = 1 × 1 = 1
- 2 = 2 × 2 = 4
- 3 = 3 × 3 = 9
- 4 = 4 × 4 = 16
- 5 = 5 × 5 = 25
- 6 = 6 × 6 = 36
- 7 = 7 × 7 = 49
- 8 = 8 × 8 = 64
- 9 = 9 × 9 = 81
- 10 = 10 × 10 = 100
- 11 = 11 × 11 = 121
- 12 = 12 × 12 = 144
Simplificați-vă rădăcinile pătrate extragând, dacă este posibil, pătrate perfecte. Rezolvarea rădăcinii pătrate a unui pătrat imperfect poate fi dificilă - mai ales dacă nu aveți un calculator pe mână (mai departe, veți găsi o metodă de calculat manual). Adesea este posibil, înainte de a utiliza calculul, să simplificați rădăcina. Este întotdeauna necesar să vedem dacă nu este posibil să se descompună radicand într-un produs de factori. Dacă unul dintre factori este un pătrat perfect, este și mai bine, deoarece poate fi luat din rădăcină. Așa a spus, poate suna complicat, dar nu este nimic - citiți mai departe!
- Spuneți că trebuie să găsiți rădăcina pătrată de 900. La început nu este ușor! Cu toate acestea, dacă acest număr poate fi defalcat în produse cu factor, sarcina va fi simplificată. Prin „factori” ne referim la numere care, înmulțite între ele, dau un număr anume, 900 aici. Să luăm un exemplu concret: 6 se poate supăra făcând 1 × 6 și 2 × 3. Drept urmare, 1, 2, 3 și 6 sunt factorii 6.
- Să luăm exemplul nostru: în loc să căutăm rădăcina 900, vom căuta cea a 9 × 100. Știm, 9 este un pătrat perfect, vom putea izola, datorită unei proprietăți a rădăcinii, sub forma: √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). În mod provizoriu, avem: √ (900) = 3√(100).
- În aceeași ordine, puteți descompune 100 în 25 x 4. Avem astfel: √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. În concluzie, √ (900) = 3 (10) = 30.
Parcurgeți numerele imaginare pentru rădăcinile pătrate ale numerelor negative. Să vedem - ce număr, înmulțit de la sine, dă - 16? Cu siguranță, acesta nu este nici 4, nici 4 - dacă le ridicați pătrate, primiți un singur răspuns: 16! Renunțăm? Este strict imposibil să extrageți rădăcina pătrată a unui număr negativ, - 16 sau altul. Prin convenție, astfel de rădăcini există și sunt așa numitele numere „imaginare” (care folosesc o literă sau un simbol). În toate numerele complexe, este un număr imaginar, numit „i” al cărui pătrat este -1. Cel mai adesea, rădăcina pătrată a unui număr negativ este un număr imaginar (sau cel puțin unul care conține unul).
- S-a spus că aceste numere particulare nu sunt în formă criptată, dar pot fi manipulate ca atare. Așa se face că dacă vom pătrunde aceste rădăcini speciale, vom obține numere negative. Deci, i = - 1

Partea a 2-a Rezolva folosind algoritmi de tip divizare

Transformă-ți problema rădăcină pătrată într-o problemă de divizare. Deși este nevoie de timp, fiți conștienți că puteți extrage rădăcina unui pătrat imperfect. Este nevoie de o metodă de rezoluție, un algoritm, care arată ca o diviziune clasică - nu chiar!
- Începeți prin a prezenta rădăcina pătrată ca o diviziune. Spuneți că trebuie să găsiți rădăcina pătrată de 6,45, ceea ce, evident, nu este un pătrat perfect. Începeți prin a înscrie simbolul rădăcină (√) și apoi radicandul. Acesta din urmă se află foarte bine sub bara rădăcină - pare o diviziune, nu? Deci aveți o rădăcină pătrată, √, cu o bară orizontală lungă, sub care veți observa 6.45.
- Vom introduce numerele de mai sus, așa că planificăm puțin spațiu.
Grupați numerele în perechi. Pentru început, grupăm numerele cu două sub bara rădăcină, începând cu virgula. Puteți pune o mică marcă între perechi (un punct, o zecă, o virgulă) pentru a le identifica.
- Să luăm exemplul nostru: 6,45 împărțite în perechi ar putea arăta astfel: 6-,45-00. Rețineți că prima pereche este redusă la o singură cifră, numărul de pornire necesită - acest lucru este normal!
Apoi găsiți cel mai mare număr întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu prima pereche. Începeți cu perechea din stânga. Găsiți cel mai mare număr întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu această primă pereche. De exemplu, dacă aveți 37, veți lua 6, deoarece 6 = 36 și 36 <37. 7 nu s-ar refuza, deoarece 7 = 49 și 49> 37. Scrieți acest răspuns mai sus și în partea de sus a acelei perechi. Aceasta va fi prima cifră a răspunsului definitiv.
- Ia exemplul nostru: prima pereche de 6-, 45-00 este 6 (06). Cel mai mare număr care are pătrat dă 6 sau mai puțin de 6 este 2 - 2 = 4. Scrieți un "2" deasupra celor 6 radicande.
Faceți dublu răspunsul pe care tocmai l-ați găsit, scrieți-l mai jos și faceți scăderea. Luați acest prim număr găsit și dublați-l. Acest rezultat, vă veți înregistra de data aceasta de mai jos a perechii în cauză. Faceți diferența între cei doi. Apoi vei reduce următoarea pereche pe rezultatul scăderii. În cele din urmă, scrieți în stânga acestui număr, ultima cifră a rezultatului dublat anterior, lăsând un spațiu între.
- Să luăm exemplul nostru: calculați dublul primului rezultat (2), adică 2 × 2 = 4. Apoi, veți scădea acest rezultat din prima pereche (6), ceea ce dă: 6 - 4 = 2. Apoi coborâți următoarea pereche (45) la rezultatul scăderii, care dă 245. În sfârșit, trebuie să scrii din nou 4, dar la stânga 245 lăsând un spațiu între cele două, astfel: 4_.
Completați spațiul liber. Ajungem la faza un pic complicat, care este să găsim valoarea care trebuie pusă în locul spațiului rămas liber. Aveți nevoie de numărul care, înmulțit cu numărul dvs. din stânga, va da un rezultat egal sau mai mic decât numărul „în jos” din dreapta spațiului liber. Să presupunem că, după coborâre, 1700 și numărul din stânga este 40_, va trebui să puneți „4” pentru că 404 × 4 = 1616, care este mai mic decât 1700, în timp ce 405 × 5 = 2025 (mai mare decât 1700 ). Acest număr va fi a doua cifră a răspunsului dvs. final, trebuie să-l așezați deasupra barei rădăcină, lângă prima.
- Luăm exemplul nostru: trebuie să găsiți un număr (y) pe care să îl puneți în spațiul liber, astfel încât produsul 4y × y să dea un rezultat apropiat de 245, dar nu mai mare. Răspunsul este aici 5. Într-adevăr, 45 × 5 = 225, în timp ce 46 × 6 = 276.
Continuați pe același principiu (găsiți numărul care lipsește) pentru a găsi celelalte cifre ale rădăcinii. Scade numărul mai mic (din înmulțire) al numărului din loc. Puneți dublu numărul de deasupra barei rădăcină la stânga rezultatului scăderii, fără a uita de spațiul liber. Repetați acești pași până când obțineți 0 sau numărul de zecimale solicitate.
- Dacă luăm exemplul nostru, scădem 225 din 245, ceea ce dă 20. Apoi coborâm ultima pereche, 00, pentru a obține 2.000. Dublăm rezultatul anterior, 25 × 2 = 50. Trebuie să găsiți numărul la așezați spațiul liber astfel încât 50_ × _ să fie mai mic sau egal cu 2.000. 3 (503 x 3 = 1509). Acum aveți "253" deasupra barei rădăcină - dacă ați continua, a patra cifră ar fi 9.
Deplasați punctul zecimal vertical în sus de radicande. Aveți cifre semnificative, tot ce rămâne este să așezați virgula la locul potrivit. Este foarte simplu - puneți virgula la rădăcina virgulei radicand. De exemplu, aveți radix 49.8, virgula rădăcină va fi plasată chiar deasupra, între cele două cifre poziționate deasupra 9 și 8.
- Să luăm exemplul nostru: radicanda este 6.45, cele două cifre superioare aliniate pe 6 și 4 sunt respectiv 2 și 5. Comma este așadar între aceste două cifre și rădăcina pătrată de 6.45 este 2,539.

Partea 3 Estimează aproximativ rădăcina unui pătrat imperfect

Găsiți prin aproximare rădăcina unui pătrat imperfect. Odată memorate principalele pătrate perfecte, rezolvarea rădăcinilor pătrate ale pătratelor imperfecte devine mai ușoară. După cum știți o serie de pătrate perfecte, puteți, prin încadrare și aproximări succesive, să găsiți rădăcinile pătratelor imperfecte. Începem întotdeauna prin a găsi cele două pătrate perfecte care încadrează numărul pe care vi-l cerem să le rootăm. Apoi, determinați care dintre cele două pătrate este cel mai aproape de numărul de referință.
- Spuneți că trebuie să extrageți rădăcina pătrată de 40. Dacă știți pătratele dvs. perfecte, veți ști rapid că 40 este cuprins între 6 (36) și 7 (49). 40 fiind mai mare de 6, rădăcina sa pătrată va fi mai mare de 6, iar cum 40 este mai mică de 7, rădăcina pătrată va fi mai mică de 7. 40 fiind mai aproape de 36 decât 49, rădăcina de 40 va fi mai aproape de 6 decât din 7. Mai departe, vom vedea cum se perfecționează răspunsul.
Rafinați răspunsul la o zecimală. După ce se găsesc cele două pătrate perfecte din jurul numărului dvs., trebuie doar să folosiți logica pentru a vă perfecționa treptat răspunsul - cu cât vă perfecționați, cu atât veți ajunge la răspunsul corect. Începem prin rafinarea „zecimii” - alegerea celui de-al zecelea bun este logică, deci nu va trebui să încercați toate zecimalele.
- Să luăm exemplul nostru: rădăcina pătrată de 40 este mai aproape de 36 (rădăcină = 6) decât 49 (rădăcină = 7). Să încercăm atunci 6,4.
Înmulțiți această aproximare de la sine. Acum, îți vei pătra estimarea. Cu excepția cazului în care sunteți foarte norocoși, este foarte puțin probabil să întâlniți răspunsul corect - veți fi fie mai jos, fie mai sus. În primul caz, va trebui să revizuiți estimarea în sus și în jos în al doilea.
- Înmulțiți 6,4 de la sine, ceea ce dă: 6,4 × 6,4 = 40,96, puțin peste 40, radicanda noastră.
- Dacă pătratul estimatului dvs. depășește numărul dvs., trebuie să scădeați cu o zecime de estimare. Vom lua aici 6.3, ceea ce dă 6.3 × 6.3 = 39,69. De data aceasta suntem sub 40, deci rădăcina celor 40 este undeva între 6.3 și 6.4. 40 fiind mai mult pridvor de 69,6 decât 40,96, rădăcina de 40 este mai aproape de 6,3 decât 6,4.
Continuați să vă gândiți la acest principiu. În conformitate cu ceea ce vi s-a cerut, vă puteți opri la această estimare (6.3) sau puteți perfecționa în continuare. Apoi, trebuie să estimați „sutimi” folosind același principiu și făcând aceleași calcule. Puteți apoi, prin abordări succesive, să determinați 4, 5, 6 ... zecimale - totul va depinde de gradul de precizie pe care îl doriți sau de care solicitați.
- Să luăm exemplul nostru: cereți că 6.33 este estimarea dvs. la două zecimale. Înmulțiți singur 6,33: 6,33 × 6,33 = 40,0689. Deoarece suntem încă puțin peste numărul de pornire, putem încerca 6.32. Deci procedăm: 6.32 × 6.32 = 39.9424. De data aceasta suntem sub numărul nostru. Deci putem spune în siguranță că rădăcina pătrată a 40 este între 6.32 și 6.33. Dacă doriți, puteți continua pe această cale, cu 3 sau mai multe zecimale. Astfel, vă veți apropia din ce în ce mai mult de numărul dvs. de referință.