Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice

Conţinut

• etape
• Preliminar: să știe să transforme o ecuație logaritmică într-o ecuație cu puteri
• Metoda 1 Găsiți x
• Metoda 2 Găsiți x folosind regula produsului logaritm
• Metoda 3 Găsiți x folosind t regula de coeficient logaritm

Ecuațiile logaritmice nu sunt, la prima vedere, cele mai ușor de rezolvat în matematică, dar ele pot fi transformate în ecuații cu exponenți (notație exponențială). Astfel, dacă reușești să faci această transformare și dacă stăpânești calculul cu puterile, ar trebui să rezolvi cu ușurință acest tip de ecuații. NB: termenul „jurnal” va fi folosit din când în când în loc de „logaritm”, aceștia sunt interschimbabili.

etape

Preliminar: să știe să transforme o ecuație logaritmică într-o ecuație cu puteri

1. 
   

   
   Să începem cu definiția logaritmului. Dacă doriți să calculați logaritmele, știți că acestea nu sunt altceva decât un mod special de exprimare a puterilor. Să pornim de la una dintre condițiile clasice ale logaritmului:
   • y = jurnal_b (X)
     • dacă și numai dacă: b = x
   • b este baza logaritmului. Trebuie îndeplinite două condiții:
     • b> 0 (b trebuie să fie strict pozitiv)
     • b nu trebuie să fie egală cu 1
   • În notație exponențială (a doua ecuație de mai sus), acolo este puterea și x este așa-numita expresie exponențială, de fapt valoarea căreia se caută jurnalul.

2. 
   

   
   
   
   Observă îndeaproape ecuația. În fața unei ecuații logaritmice, trebuie să identificăm baza (b), puterea (y) și expresia exponențială (x).
   • exemplu : 5 = jurnal₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Plasați expresia exponențială pe o parte a ecuației. Plasați, de exemplu, valoarea dvs. x în stânga semnului "=".
   • exemplu : 1024 = ?

4. 
   

   
   Ridicați baza la puterea indicată. Valoarea atribuită bazei de date (b) trebuie înmulțit de la sine de câte ori indică puterea (acolo).
   • exemplu : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Cu privire scurtă, acest lucru oferă: 4

5. 
   

   
   
   
   Scrieți-vă răspunsul. Acum puteți rescrie logaritmul în notație exponențială. Asigurați-vă că egalitatea dvs. este corectă refăcând calculul.
   • exemplu : 4 = 1024

Metoda 1 Găsiți x

1. 
   

   
   Izolați logaritmul. Scopul este într-adevăr să dezolți într-o primă dată jurnalul. Pentru aceasta, trecem toți membrii non-logaritmici de cealaltă parte a ecuației. Nu uitați să inversați semnele operative!
   • exemplu : jurnal₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Scrieți ecuația sub formă exponențială. Pentru a putea găsi „x”, va trebui să treceți de la notația logaritmică la notația exponențială, aceasta din urmă fiind mai ușor de rezolvat.
   • exemplu : jurnal₃(x + 5) = 4
     • Pornind de la ecuația teoretică y = jurnal_b (X)], aplicați-o în exemplul nostru: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Scrieți ecuația ca: b = x
     • Obținem aici: 3 = x + 5

3. 
   

   
   găsi x. Acum vă confruntați cu o ecuație de gradul I, care este ușor de rezolvat. Ar putea fi al doilea sau al treilea grad.
   • exemplu : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Introduceți răspunsul definitiv. Valoarea pe care ai găsit-o pentru „x” este răspunsul la ecuația ta logaritmică: log₃(x + 5) = 4.
   • exemplu : x = 76

Metoda 2 Găsiți x folosind regula produsului logaritm

1. 
   

   
   Trebuie să cunoașteți regula referitoare la produsul (înmulțirea) jurnalelor. Conform primei proprietăți a jurnalelor, cea care privește produsul jurnalelor (din aceeași bază de trimitere!), Jurnalul unui produs este egal cu suma jurnalelor elementelor produsului. ilustrare:
   • log_b(m x n) = jurnal_b(m) + jurnal_b(N)
   • Trebuie îndeplinite două condiții:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Izolați jurnalele de o parte a ecuației. Scopul este într-adevăr să dezolți la început jurnalele. Pentru aceasta, trecem toți membrii non-logaritmici de cealaltă parte a ecuației. Nu uitați să inversați semnele operative!
   • exemplu : jurnal₄(x + 6) = 2 - jurnal₄(X)
     • log₄(x + 6) + jurnal₄(x) = 2 - jurnal₄(x) + jurnal₄(X)
     • log₄(x + 6) + jurnal₄(x) = 2

3. 
   

   
   Aplicați regula privind produsul buștenilor. Aici, îl vom aplica în direcția opusă, și anume că suma jurnalelor este egală cu jurnalul produsului. Ce ne oferă:
   • exemplu : jurnal₄(x + 6) + jurnal₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Rescrieți ecuația cu puteri. Reamintim că o ecuație logaritmică poate fi transformată într-o ecuație cu exponenți. Ca și înainte, vom trece la notația exponențială pentru a ajuta la rezolvarea problemei.
   • exemplu : jurnal₄(x + 6x) = 2
     • Pornind de la ecuația teoretică, să o aplicăm la exemplul nostru: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Scrieți ecuația ca: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   găsi x. Acum vă confruntați cu o ecuație de gradul doi, care este ușor de rezolvat.
   • exemplu : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Scrieți-vă răspunsul. Adesea, avem două răspunsuri (rădăcini). Ar trebui verificată în ecuația de pornire dacă aceste două valori sunt adecvate. Într-adevăr, nu putem calcula jurnalul unui număr negativ! Introduceți singurul răspuns valid.
   • exemplu : x = 2
   • Nu ne vom aminti niciodată suficient de mult: jurnalul unui număr negativ nu există, deci puteți, aici, să respingeți - 8 ca soluție. Dacă am lua -8 ca răspuns, în ecuația de bază, am avea: log₄(-8 + 6) = 2 - jurnal₄(-8), adică jurnal₄(-2) = 2 - jurnal₄(-8). Nu se poate calcula jurnalul unei valori negative!

Metoda 3 Găsiți x folosind t regula de coeficient logaritm

1. 
   

   
   Trebuie să cunoașteți regula care se referă la împărțirea jurnalelor. Conform celei de-a doua proprietăți a jurnalelor, cea care se referă la împărțirea jurnalelor (ale aceleiași trimiteri de bază!), Jurnalul unui coeficient este egal cu diferența jurnalului numărătorului și a jurnalului numitorului. ilustrare:
   • log_b(m / n) = jurnal_b(m) - jurnal_b(N)
   • Trebuie îndeplinite două condiții:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Izolați jurnalele de o parte a ecuației. Scopul este într-adevăr să dezolți la început jurnalele. Pentru aceasta, trecem toți membrii non-logaritmici de cealaltă parte a ecuației. Nu uitați să inversați semnele operative!
   • exemplu : jurnal₃(x + 6) = 2 + jurnal₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - jurnal₃(x - 2) = 2 + jurnal₃(x - 2) - jurnal₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - jurnal₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Aplicați regula coeficientului de jurnal. Aici, îl vom aplica în direcția opusă, și anume că diferența jurnalelor este egală cu jurnalul cotului. Ce ne oferă:
   • exemplu : jurnal₃(x + 6) - jurnal₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Rescrieți ecuația cu puteri. Reamintim că o ecuație logaritmică poate fi transformată într-o ecuație cu exponenți. Ca și înainte, vom trece la notația exponențială pentru a ajuta la rezolvarea problemei.
   • exemplu : jurnal₃ = 2
     • Pornind de la ecuația teoretică, să o aplicăm la exemplul nostru: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Scrieți ecuația ca: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   găsi x. Acum, că nu mai există jurnale, ci puteri, ar trebui să găsiți cu ușurință x.
   • exemplu : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; înmulțim ambele părți cu (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Introduceți răspunsul definitiv. Ia-ți înapoi calculele și fă o verificare. Când sunteți sigur de răspunsul dvs., scrieți-l definitiv.
   • exemplu : x = 3