Cum se găsesc punctele de inflexiune

Conţinut

• etape
• Metoda 1 Înțelegeți punctele de inflexiune
• Metoda 2 Găsiți derivatele unei funcții
• Metoda 3 Găsiți un punct de inflexiune

În calculul diferențial, un punct de inflexiune este un punct al unei curbe în care semnul concavității se schimbă (de la mai mult à mai puțin sau mai puțin à mai mult). Este utilizat în diverse discipline, inclusiv inginerie, economie și statistici, pentru a determina modificările fundamentale ale datelor. Pentru informații despre cum puteți găsi punctele de inflexiune, mergeți la pasul 1 de mai jos.

etape

Metoda 1 Înțelegeți punctele de inflexiune

1. 
   

   
   Înțelegeți funcțiile concave. Pentru a înțelege punctele de inflexiune, trebuie să știi să distingi funcțiile concave de funcțiile convexe. O funcție concavă este o funcție în care nici o linie care unește două puncte de pe graficul ei nu trece peste grafic.

2. 
   

   
   Înțelegeți funcțiile convexe O funcție convexă este în esență opusul unei funcții concave: este o funcție în care nicio linie care unește două puncte de pe graficul ei nu trece sub grafic.

3. 
   

   
   Înțelegeți rădăcinile unei funcții. Rădăcina unei funcții este punctul în care funcția anulează sau este egală cu 0.
   • Dacă trebuie să desenați o funcție, rădăcinile ar fi punctele în care funcția atinge axa x.

Metoda 2 Găsiți derivatele unei funcții

1. 
   

   
   
   
   Găsiți prima derivată a funcției. Înainte de a găsi un punct de inflexiune, trebuie să găsiți derivatele funcției. Formulele derivate pentru funcțiile de bază pot fi găsite în orice calcul e. Trebuie să le învățați înainte de a trece la exerciții mai complexe. Primele derivate sunt notate f (x). Pentru expresiile polinomiale sub forma axp + bx (p-1) + cx + d, primul derivat este apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.
   • Pentru a ilustra, să presupunem că trebuie să găsiți punctul de inflexiune al funcției f (x) = x3 + 2x-1. Calculați prima derivată a acestei funcții după cum urmează:
     
     f? (x) = (x3 + 2x - 1) = (x3) + (2x) - (1) = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. Găsiți a doua derivată. A doua derivată reprezintă prima derivată a primei derivate a funcției, notată f (X).

   
   

   
   
   • În exemplul de mai sus, calculați a doua derivată a funcției după cum urmează:
     
     f (x) = (3x2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6x

3. 
   

   
   
   
   Anulați a doua derivată. Pune a doua derivată egală cu zero și rezolvă ecuația. Răspunsul dvs. ar fi probabil un punct de inflexiune.
   • În exemplul de mai jos, calculul va fi după cum urmează:
     
     f (x) = 0
     6x = 0
     x = 0

4. 
   

   
   Găsiți a treia derivată a funcției. Pentru a afla dacă răspunsul dvs. este de fapt un punct de inflexiune, găsiți a treia derivată care este prima derivată a celei de-a doua derivate a funcției și care este notată de (X).
   • În exemplul de mai sus:
     
     f (x) = (6x) = 6

Metoda 3 Găsiți un punct de inflexiune

1. 
   

   
   Evaluează a treia derivată. Regula standard pentru evaluarea unui posibil punct de inflexiune este: dacă a treia derivată nu este egală cu 0, punctul de inflexiune probabil este într-adevăr un punct de inflexiune. Evaluează-ți cea de-a treia derivată, dacă nu este egală cu 0, atunci punctul este de fapt un punct de inflexiune.
   • În exemplul de mai sus, a treia derivată este 6 și nu 0. Acesta este de fapt un punct de inflexiune.

2. 
   

   
   Găsiți punctul de inflexiune. Coordonata punctului de inflexiune este notată (x, f (x)), cu x valoarea punctului variabil la punctul inflexiunii și f (x) valoarea funcției în punctul inflexiunii.
   • În exemplul de mai sus, amintiți-vă că atunci când ați calculat a doua derivată, x a dat 0. Deci, trebuie să calculați f (0) pentru a determina coordonatele. Calculul dvs. ar arăta astfel:
     
     f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.

3. 
   

   
   Notă coordonatele. Coordonatele punctului de inflexiune sunt: ​​valoarea lui x și răspunsul găsit mai sus.
   • În exemplul de mai sus, coordonatele punctului de inflexiune sunt (0, -1).